玩好数学，一编多得
——学生数学编题12种方法
文/刘蒋巍
新课程改革坚持“以人为本”的教育理念，该理念强调学生在教学中的主体性、参与性。著名数学家波利亚说:“问题是数学的心脏”。问题的研究就是数学研究的核心内容，就像康托尔(cantor)说的:“提出问题”的重要性远比“解答问题”的重要性高。数学家陈省身说过:“数学好玩”，中科院院士田刚也对应地送给青少年们“玩好数学”四个字，引起不小反响。马克思也强调学生学习必须是充分自由的，这样就能对学习进行创造。根据建构主义理论的看法，学习的主动性是掌握知识的一个重要的前提条件，所以学习应该是积极的，可见激发学生的数学学习动机是非常重要的。
如果能将两者结合起来，让学生参与到数学习题的编制过程中，就能够调动学生学习数学的积极性、主动性，从而激发高质量地完成学习任务的动机，可以让学生从学习准备到学习过程，再到学习反馈各个环节都能积极能动地进行，使得初中学生在数学这门学科中进行真正的高效学习。因此,如何充分利用数学问题，让学生参与到编题过程中，以此来提高学生的主体参与性、数学学习能力、发散性思维、数学素养等，往往成为大家关注的话题。
学生编数学题的方法有很多，如包括赋值法、倒推法在内的演绎推理法；类比归纳推广法；还有包括等价变换、不等价变换的条件结论变换法等。
一、演绎推理法
所谓演绎推理，就是推理者从一般性的前提条件出发，经历问题推导的过程，得出相应的结论，这样的推理方法就叫做演绎推理。这种推理方式的特点是在推理过程中，前提条件和结论之间必然存在着某种本质上的联系。推理都是从一般推导到特殊、从前提条件推导到最终结论。利用演绎推理法来编数学题就是依据一般的真命题，通过演绎推理这种推理方式来编制新的或者特殊的数学题，具体方法有赋值法、倒推法等等。
方法1.赋值法
一般数学题在解题时，常常按照正常逻辑顺序进行推理，一步步根据必要条件求出答案来。但是有时候依照实际情况，适当地对某些条件赋予一个数值，尤其是一个确定的特殊值，往往能使原来的问题变得简单，或者重新获得新生，变成一道新问题。
方法2.倒推法
顺推—倒推法是数学学习中常用的思想方法，所谓用倒推法来编题就是先确定题目的结论，从结论出发倒着推出需要的条件，再隐去开始预期的结论，从而编出新题。
二、类比归纳推广法
数学学科很大程度上是依赖于推广发展本身的，大到数学家，小到普通的数学学习者；上到数学领域的疑难问题、经典问题，下到数学学科教学中的基础问题都是由已知领域推广到未知领域的。正如数学解题一般，数学编题也是需要以类比、归纳等方法为基础方法的。相对于解题来说，学生参与编题显得更新颖，实际操作难度也更大一些，更需要举一反三、模拟创新。学生通过类比现有的问题、进行整理归纳，从而推广出合理的新问题。
方法3.类比
类比是一种相似性。这种特性是指具有该特性的几种物体在“相应部分的特定关系上相一致”。所以，类比这种推理形式，就是发现在某个对应部分上，两个对象具有某些相同或相似的特定关系，从而推断出它们在其他对应部分上也可能有相同或相似的关系。比如在让学生探索三角形相似条件时，引导学生复习
回忆三角形全等所用的条件。
方法4.归纳
对一组具有某方面共同特征的例子进行分析比较，探索出每个例子的条件和结论，寻找出其间存在的共同特征与联系。利用分析已给的特殊例子，推广出同类例子的普遍结论。这种推理形式就是归纳。
例如教材七年级上册中P65习题第2题，“给出同样大小的小正方形纸片拼长方形，填表写出各个图形中小正方形的个数，你发现了什么规律了吗？”以及类似问题。练习过这几道题目后，指导学生进行归纳，观察这一类题目的共同点和不同点，指导学生编制出一系列给出图形(如正三角形、矩形、正多边形、圆形等），按照某种规律摆放，继而针对边长、周长、面积等方面的相关问题。学生通过经历从特殊到一般的思维过程，培养并发展了数学类比和归纳的能力。
三、条件结论变换法
在数学编题中，条件变换法是非常常用的一种方法，奥加涅相·柯里亚金用Y代表习题的条件，用Z代表习题的结论，用O代表解题的依据，用P代表解题的方法，提出解题系统。这四要素中，直接显示出来的是条件和结论，将原有数学题的条件或者结论进行变换，从而得到新题的方法就是条件结论变化法，而变换的结果有的是与原题等价的，有的则与原题不等价，故此法又分为等价变换和不等价变换两种。
方法5.等价变换法
通过变换条件、结论或者其他要素后，新题与原题等价，只是问题发生的背景发生变化或者条件、结论换了一种形式呈现出来，但实质没有发生改变，这种变换叫等价变换。例如教材八年级上册中P156习题第5题:“根据所给函数图像，写出函数关系式指导学生分析条件和结论后，思考“原题的条件能不能换个说法，但不改变问题的实质。”在“换个说法”的提示下，此题可以由图像题改为文字题，编出下题:“已知一次函数图像经过(2,0)和(0,2)两点，求函数关系式。”只是换了个说法，也确实变换了条件和考察类型，成了道熟悉的新题。
此外，通过变换条件、结论或其他要素后，新题与原题不等价，实质发生改变，衍生出新题来，这样的变换方式更常见一些，也更好操作，更具有功能性。
方法6.只换条件
“只换条件”，即：条件不同，问题相同。
方法7.只换结论
“只换结论”，即：条件相同，问题不同。例如：将问题结论中“求未知边的长”改编为“求该三角形的面积”。这样看似是改编了结论，其实是既要解决原题中的问题，又要再解决一个新问题，让原题考察的知识点更多，层次感更强一些。
方法8.条件结论都换
“条件结论都换”，即：条件不同，问题也不同。
方法9.条件结论互换
“条件结论互换”，即：原命题的逆命题。例如：“不可能事件的概率为0.（该命题正确）”条件与结论互换，得：概率为0的事件是不可能事件.（该命题错误）”。
方法10.弱化条件
弱化条件，就是学生将原题的条件弱化，从而使得结论的范围扩大，答案具有多样性，使得学生原有的数学知识结构更系统化，思考问题更全面。
方法11.强化条件
强化条件即强抽象，就是在原题目中增加一些条件，或者用较强的条件替换原有条件，从而缩小答案范围，编制出新题。例如：教材九年级上册中P98的问题4：“某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，如果商场通过销售这批衬衫每天要盈利1200元，衬衫的单价应降多少元？”这是一道用一元二次方程解应用题的实际问题，答案本来有两个，但是，我们可以强化条件，增加一句“考虑到让顾客得到实惠”，增加的这个条件起到了一个限制性的作用，问题的难度稍微增加了，同时也开拓了学生的思维，培养了学生数学思考的严谨性。
方法12.只留条件
教材八年级上册中P165复习题的第2题：“如果点P(-2,0)在函数y=-3x+1的图像上，求点P的坐标。本来只是一道代入求值的题目，但是将此题的结论去掉，只留下条件，就变成了一道开放题目，既可以考察代入求值，也可以去求函数图像与坐标轴得到交点坐标，还可以求和其他函数相交的交点，或者求围成的图形面积等等，很有新意，也更能培养学生的发散思维。
总而言之，学生参与数学编题的方法有条件变换、赋特殊值、倒推、类比归纳等方法，尤其是其中的条件变换法更为常见和高效，具体可以分为等价交换和非等价交换，非等价交换又包括换条件、换结论、条件结论都换、条件结论互换、强化条件、弱化条件、只留条件等方法。教师在教学实践中若能适当指导学生运用这些方法来编题，就能够帮助学生更好地分析题目中的条件、问题等要素，从而提高学生的解题能力、变式能力以及理解、抽象、类比、归纳、联想、综合等各种数学学习能力，培养学生的辩证思想、创造性思维、批判精神、克服困难的意志力、数学严谨性等数学素养，获得多方面发展。
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